欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler’s totient function），即 $\varphi(n)$，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

比如说 $\varphi(1) = 1$。

$\varphi(8) = 4$，小于8且与8互素的数是1,3,5,7。

当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$。

欧拉函数的一些性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。

    特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$。

  • $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$。

    利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

    也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, （ k < n ）$。

    如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$。

    根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\dfrac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$。

  • 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。
    （根据定义可知）

  • 由唯一分解定理，设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 是质数，有 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$。

    证明：

    • 引理：设 $p$ 为任意质数，那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$。

      证明：显然对于从 1 到 $p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)$，证毕。

      接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$。由唯一分解定理与 $\varphi(x)$ 函数的积性

$$
\begin{aligned}
\varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\
&= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\
&=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\
&=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i})
&\square
\end{aligned}
$$

如何求欧拉函数值

基于素因数分解求欧拉函数的算法

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化。

int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

注：如果将上面的程序改成如下形式，会提升一点效率：

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

利用埃氏筛法，实现欧拉函数值的预处理

可以求多个数的欧拉函数。

利用埃氏筛法，每次发现素因子时就把它的倍数的欧拉函数乘上 (p-1)/p ，这样就可以一次性求出1~n的欧拉函数值的表了。实现如下:

1  int euler[MAX_N];
2  void euler_phi2(){
3	for (int i = 0; i < MAX_N; i++) euler[i] = i;
4	for (int i = 2; i < MAX_N; i++) {
5		if (euler[i] == i) {
6			for (int j = i; j < MAX_N; j += i) 
7				euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
8		}
9	}
10 }

容斥原理求欧拉函数

若将 $N$ 分解为不同素数的乘积，即：

$$
N=p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \ldots p_{k}^{r_{k}}
$$

设 1 到 $N$ 的 $N$ 个数中为 $p_{i}$ 倍数的集合为 $A_{i},\left|A_{i}\right|=\left|\frac{N}{p_{i}}\right|(i=1,2, \ldots, k)$ 。

对于 $p_{i} \neq p_{j}, A_{i} \cap A_{j}$ 既是 $p_{i}$ 的倍数也是 $p_{j}$,的倍数, 即可得

$$
\left.\left|A_{i} \cap A_{j}\right|=\mid \frac{N}{p_{i} p_{j}}\right\rfloor(1 \leq i, j \leq k, i \neq j)
$$

人在去除 $\left|A_{i}\right|$ 和 $\left|A_{j}\right|$ 的时候， $p_{i}$ 和 $p_{j}$ 的倍数被去除去了两次，需要再把 $\left|A_{i} \cap A_{j}\right|$ 加回来。

$$
\begin{array}{l}
\varphi(N)=\left|\overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}} \cap \cdots \cap \overline{A_{k}}\right| \\
=N-\left(\frac{N}{p_{1}}+\frac{N}{p_{2}}+\cdots+\frac{N}{p_{k}}\right)+\left(\frac{N}{p_{1} p_{2}}+\frac{N}{p_{2} p_{3}}+\cdots+\frac{N}{p_{1} p_{k}}\right) \ldots \pm\left(\frac{N}{p_{1} p_{2} \ldots p_{k}}\right) \\
=N\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{p_{k}}\right)
\end{array}
$$

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：

若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$。

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理

$$
a^b\equiv
\begin{cases}
a^{b\bmod\varphi(p)},,&\gcd(a,,p)=1\\
a^b,&\gcd(a,,p)\ne1,,b<\varphi(p)\\
a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,,p)\ne1,,b\ge\varphi(p)
\end{cases}
\pmod p
$$